Um estudo objetivou avaliar a evolução do número mensal Y de milhares de ocorrências de certo tipo de crime em determinado ano. Com base no método dos mínimos quadrados ordinários, esse estudo apresentou um modelo de regressão linear simples da forma
Y = 5 − 0,1 × T,
em que Y representa a reta ajustada em função da variável regressora T , tal que 1 ≤ T ≤ 12.
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos p -valores encontram-se na tabela a seguir.
erro padrão
razão t
p-valor
intercepto
0,584
8,547
0,00
coeficiente angular
0,064
1,563
0,15
Os desvios padrão amostrais das variáveis Y e T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
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Um modelo de regressão linear simples tem a forma y = a x + b + ε , em que y denota a variável resposta, x é a variável regressora, a e b são os coeficientes do modelo, e ε , representa um erro aleatório com média 0 e variância v . Com base em uma amostra aleatória simples de tamanho n = 51, pelo método dos mínimos quadrados ordinários, a estimativa da variância v foi igual 3. A variância amostral da variável y é 42.
Nesse modelo, o valor do coeficiente de determinação (R 2 ) é igual a
Texto associado
A tabela a seguir apresenta o número anual de irregularidades detectadas por auditores conforme o tempo de experiência desses auditores na atividade de auditoria. A última coluna foi obtida utilizando-se a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.
auditor
tempo
(T anos)
n.º de irreg.
detect. (N)
T × N
T 2
N 2
(T - T) 2
( N − N ) 2
( N − N ^ ) ²
1
2
3
6
4
9
96,04
16
0,052441
2
7
5
35
49
25
23,04
4
0,022201
3
10
7
70
100
49
3,24
0
0,488601
4
15
8
120
225
64
10,24
1
0,048841
5
25
12
300
625
144
174,24
25
0,003721
totais
59
35
531
1.003
291
306,8
46
0,615805
Caso necessário, use as seguintes aproximações.
1534 1/2 = 39,2
230 1/2 = 15,2
Considerando essas informações, julgue os próximos itens.
auditor
tempo
(T anos)
n.º de irreg.
detect. (N)
T × N
T 2
N 2
(T - T) 2
( N − N ) 2
( N − N ^ ) ²
1
2
3
6
4
9
96,04
16
0,052441
2
7
5
35
49
25
23,04
4
0,022201
3
10
7
70
100
49
3,24
0
0,488601
4
15
8
120
225
64
10,24
1
0,048841
5
25
12
300
625
144
174,24
25
0,003721
totais
59
35
531
1.003
291
306,8
46
0,615805
Caso necessário, use as seguintes aproximações.
1534 1/2 = 39,2
230 1/2 = 15,2
Considerando essas informações, julgue os próximos itens.
Aplicando-se a reta de melhor ajuste aos dados determinada pelo método dos mínimos quadrados pode-se afirmar que um auditor que tenha 20 anos de experiência na atividade identificará mais de dez irregularidades.
Texto associado
Um estudo objetivou avaliar a evolução do número mensal Y de milhares de ocorrências de certo tipo de crime em determinado ano. Com base no método dos mínimos quadrados ordinários, esse estudo apresentou um modelo de regressão linear simples da forma
Y = 5 − 0,1 × T,
em que Y representa a reta ajustada em função da variável regressora T , tal que 1 ≤ T ≤ 12.
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos p -valores encontram-se na tabela a seguir.
erro padrão
razão t
p-valor
intercepto
0,584
8,547
0,00
coeficiente angular
0,064
1,563
0,15
Os desvios padrão amostrais das variáveis Y e T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
Y = 5 − 0,1 × T,
em que Y representa a reta ajustada em função da variável regressora T , tal que 1 ≤ T ≤ 12.
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos p -valores encontram-se na tabela a seguir.
erro padrão
razão t
p-valor
intercepto
0,584
8,547
0,00
coeficiente angular
0,064
1,563
0,15
Os desvios padrão amostrais das variáveis Y e T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
A correlação linear entre as variáveis Y e T foi igual a −0,1.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com as seguintes informações sobre as variâncias:
(i) Var(X) = 4
(ii) Var(Y) = 9
(iii) Var(X+Y) = 9
Qual é o valor da covariância entre X e Y?
A tabela a seguir apresenta uma amostra aleatória simples formada por 5 pares de valores (Xᵢ, Yᵢ), em que i = 1,2, ...,5, Xᵢ é uma variável explicativa e Yᵢ é uma variável dependente.
Considere o modelo de regressão linear simples na forma Yᵢ = bXᵢ + eᵢ, no qual eᵢ representa um erro aleatório normal com média zero e variância σ² e b é o coeficiente do modelo. Com base nos dados da tabela e nas informações apresentadas, é correto afirmar que o valor da estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente b é igual a
Uma pesquisadora está interessada em investigar se há associação entre a proporção X da população com esgotamento sanitário (%) e a taxa de mortalidade infantil Y (por 1.000 nascidos vivos). Após coletar uma amostra de cidades, ela estimou a seguinte reta de regressão linear simples: y = a – bx, com a > 0 e b > 0. Considerando que o coeficiente de determinação do modelo ajustado é R 2 = 0,81, a correlação linear estimada entre as duas variáveis é:
Texto associado
Texto 7A3-I
O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por
= n ( ∑ i − 1 n x 1 2 ) − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ i = 1 n y i ) 2 C O R R ( X , Y ) n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i − 1 n x i ) ( ∑ i − 1 n y i )
Já na reta de melhor ajuste Y = a X + b , determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por
a = n ( ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i )
b = n ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i .
Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtido das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ) 2 .
A tabela a seguir apresenta as penas de reclusão (P), em anos, cominadas a um grupo de dez réus, e suas respectivas rendas familiares mensai s per capitas (R), em número de salários mínimos, em que a última coluna foi obtida usando a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.
réu
P
R
P undefined R
P 2
R 3
(R - undefined ) 2
(R - undefined ) 2
1
14
0,25
3,5
196
0,0625
3,0625
0,054756
2
12
0,5
6
144
0,25
2,25
0,000144
3
10,9
1
10,9
118,81
1
1
0,046311
4
6
1,5
9
36
2,25
0,25
0,25
5
5
1,75
8,75
25
3,0625
0,0625
0,248004
6
3
2
6
9
4
0
0,553536
7
3
2,5
7,5
9
6,25
0,25
0,059536
8
2,3
3
6,9
5,29
9
1
0,0067898
9
1,8
3,5
6,3
3,24
12,25
2,25
0,2101306
10
2
4
8
4
16
4
1,016064
totais
60
20
72,85
550,34
54,125
14,125
2,4452714
dados:
1903,4 1/2 = 43,63
141,25 1/2 = 11,88
O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por
= n ( ∑ i − 1 n x 1 2 ) − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ i = 1 n y i ) 2 C O R R ( X , Y ) n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i − 1 n x i ) ( ∑ i − 1 n y i )
Já na reta de melhor ajuste Y = a X + b , determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por
a = n ( ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i )
b = n ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i .
Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtido das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ) 2 .
A tabela a seguir apresenta as penas de reclusão (P), em anos, cominadas a um grupo de dez réus, e suas respectivas rendas familiares mensai s per capitas (R), em número de salários mínimos, em que a última coluna foi obtida usando a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.
réu
P
R
P undefined R
P 2
R 3
(R - undefined ) 2
(R - undefined ) 2
1
14
0,25
3,5
196
0,0625
3,0625
0,054756
2
12
0,5
6
144
0,25
2,25
0,000144
3
10,9
1
10,9
118,81
1
1
0,046311
4
6
1,5
9
36
2,25
0,25
0,25
5
5
1,75
8,75
25
3,0625
0,0625
0,248004
6
3
2
6
9
4
0
0,553536
7
3
2,5
7,5
9
6,25
0,25
0,059536
8
2,3
3
6,9
5,29
9
1
0,0067898
9
1,8
3,5
6,3
3,24
12,25
2,25
0,2101306
10
2
4
8
4
16
4
1,016064
totais
60
20
72,85
550,34
54,125
14,125
2,4452714
dados:
1903,4 1/2 = 43,63
141,25 1/2 = 11,88
Considerando-se o texto 7A3-I, a relação entre o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y e o coeficiente angular, da reta de melhor ajuste aos dados determinada pelo método dos mínimos quadrados pode ser expressa por
Texto associado
Texto 7A3-I
O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por
= n ( ∑ i − 1 n x 1 2 ) − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ i = 1 n y i ) 2 C O R R ( X , Y ) n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i − 1 n x i ) ( ∑ i − 1 n y i )
Já na reta de melhor ajuste Y = a X + b , determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por
a = n ( ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i )
b = n ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i .
Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtido das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ) 2 .
A tabela a seguir apresenta as penas de reclusão (P), em anos, cominadas a um grupo de dez réus, e suas respectivas rendas familiares mensai s per capitas (R), em número de salários mínimos, em que a última coluna foi obtida usando a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.
réu
P
R
P undefined R
P 2
R 3
(R - undefined ) 2
(R - undefined ) 2
1
14
0,25
3,5
196
0,0625
3,0625
0,054756
2
12
0,5
6
144
0,25
2,25
0,000144
3
10,9
1
10,9
118,81
1
1
0,046311
4
6
1,5
9
36
2,25
0,25
0,25
5
5
1,75
8,75
25
3,0625
0,0625
0,248004
6
3
2
6
9
4
0
0,553536
7
3
2,5
7,5
9
6,25
0,25
0,059536
8
2,3
3
6,9
5,29
9
1
0,0067898
9
1,8
3,5
6,3
3,24
12,25
2,25
0,2101306
10
2
4
8
4
16
4
1,016064
totais
60
20
72,85
550,34
54,125
14,125
2,4452714
dados:
1903,4 1/2 = 43,63
141,25 1/2 = 11,88
O coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis aleatórias discretas X e Y definidas sobre um mesmo espaço amostral é dado por
= n ( ∑ i − 1 n x 1 2 ) − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ i = 1 n y i ) 2 C O R R ( X , Y ) n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i − 1 n x i ) ( ∑ i − 1 n y i )
Já na reta de melhor ajuste Y = a X + b , determinada pelo método dos mínimos quadrados, os coeficientes são dados por
a = n ( ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i ) 2 n ( ∑ i = 1 n x i y i ) − ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i )
b = n ∑ i = 1 n y i − a ∑ i = 1 n x i .
Uma forma de avaliar a precisão do modelo consiste em comparar o estimador não viesado da variância residual, obtido das diferenças entre os valores observados e os previstos pelo modelo, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 , com o estimador não viesado da variância dos valores observados, S e = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( y i − y ) 2 .
A tabela a seguir apresenta as penas de reclusão (P), em anos, cominadas a um grupo de dez réus, e suas respectivas rendas familiares mensai s per capitas (R), em número de salários mínimos, em que a última coluna foi obtida usando a reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados.
réu
P
R
P undefined R
P 2
R 3
(R - undefined ) 2
(R - undefined ) 2
1
14
0,25
3,5
196
0,0625
3,0625
0,054756
2
12
0,5
6
144
0,25
2,25
0,000144
3
10,9
1
10,9
118,81
1
1
0,046311
4
6
1,5
9
36
2,25
0,25
0,25
5
5
1,75
8,75
25
3,0625
0,0625
0,248004
6
3
2
6
9
4
0
0,553536
7
3
2,5
7,5
9
6,25
0,25
0,059536
8
2,3
3
6,9
5,29
9
1
0,0067898
9
1,8
3,5
6,3
3,24
12,25
2,25
0,2101306
10
2
4
8
4
16
4
1,016064
totais
60
20
72,85
550,34
54,125
14,125
2,4452714
dados:
1903,4 1/2 = 43,63
141,25 1/2 = 11,88
Levando-se em consideração o texto 7A3-I, a discrepância na renda
familiar per capita X, em número de salários mínimos, obtida entre
o valor observado e aquele em que se aplica a reta de melhor ajuste
aos dados determinada pelo método dos mínimos quadrados para
o nono réu é
Texto associado
Considerando que R representa uma variável quantitativa cuja média, mediana e variância são, respectivamente, iguais a 70, 80 e 100, e que U= 1 0 R − 7, julgue os próximos itens, acerca das variáveis U e R.
